在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我

Question

在平面直角坐标系xOy中，图形G的投影矩形定义如下：矩形的两组对边分别平行于x轴，y轴，图形G的顶点在矩形的边上或内部，且矩形的面积最小．设矩形的较长的边与较短的边的比为k，我们称常数k为图形G的投影比．如图1，矩形ABCD为△DEF的投影矩形，其投影比k= (BC)/(AB)．

（1）如图2，若点A（1，3），B（3，5），则△OAB投影比k的值为___．
（2）已知点C（4，0），在函数y=2x-4（其中x<2）的图象上有一点D，若△OCD的投影比k=2，求点D的坐标．
（3）已知点E（3，2），在直线y=x+1上有一点F（5，a）和一动点P，若△PEF的投影比1<k<2，则点P的横坐标m的取值范围___（直接写出答案）．

Answer 1

（1）在图2中

过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D，则矩形ACBD为△OAB的投影矩形，
∵点B（3，5），
∴OC=3，BC=5，
∴△OAB投影比k的值为(BC)/(OC)=(5)/(3)．
（2）∵点D为函数y=2x-4（其中x<2）的图象上的点，
设点D坐标为（x，2x-4）（x<2）．
分以下两种情况：

①当0≤x≤2时，如图3所示，

作投影矩形OMNC．
∵OC≥OM，
∴k=(OC)/(OM)=(4)/(OM)=(4)/(-(2x-4))=2，
解得x=1，
∴D（1，-2）；
②当x<0时，如图4所示，

作投影矩形MDNC．
∵点D坐标为（x，2x-4），点M点坐标为（x，0），
∴DM=|2x-4|=4-2x，MC=4-x，
∵x<0，
∴DM>CM，
∴k=(DM)/(MC)=(4-2x)/(4-x)=2，但此方程无解．
∴当x<0时，满足条件的点D不存在．
综上所述，点D的坐标为D（1，-2）．
（3）令y=x+1中y=2，则x+1=2，解得：x=1．
①当m≤1时，作投影矩形A′FB′P，如图5所示．

此时点P（m，m+1），PA′=5-m，FA′=6-（m+1）=5-m，△PEF的投影比k=(FA′)/(PA′)=1，
∴m≤1不符合题意；
②当1<m<3时，作投影矩形A′FB′Q，如图6所示．

此时点P（m，m+1），FB′=5-m，FA′=6-2=4，△PEF的投影比k=′(FA′)/(FB′)=(4)/(5-m)，
∵1<m<3，
∴1<k<2，
∴1<m<3符合题意；
③当3≤m≤5时，作投影矩形A′FB′E，如图7所示．

此时点E（3，2），FA′=6-2=4，FB′=5-3=2，△PEF的投影比k=′(FA′)/(FB′)=2，
∴3≤m≤5不符合题意；
④当m>5时，作投影矩形A′PB′E，如图8所示．

此时点P（m，m+1），点E（3，2），PB′=m+1-2=m-1，PA′=m-3，△PEF的投影比k=(PB′)/(PA′)=(m-1)/(m-3)，
∵m>5，
∴1<k<2，
∴m>5符合题意．
综上可知：点P的横坐标m的取值范围为1<m<3或m>5．
故答案为：1<m<3或m>5．