数列{an}满足递推式an=3an-1+3n-1（n≥2），且a1=5．（Ⅰ）求a2，a3的值；（Ⅱ）若存在实数λ使{an+λ3n}为等差数列，求λ的值及{an}的通项公式；（Ⅲ）求{an}的前n项和Sn．

Question

数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₁=5．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）若存在实数λ使{(an+λ)/(3n)}为等差数列，求λ的值及{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列{a_n}满足递推式a_n=3a_n-1+3ⁿ-1（n≥2），且a₁=5，
∴a2＝3×5+32−1=23，
a3＝3×23+33−1=95．
（Ⅱ）∵{(an+λ)/(3n)}为等差数列，∴设(an+λ)/(3n)＝xn+y，
∴an＝(xn+y)•3n−λ，
又由a₁=5，a₂=23，a₃=95，
知

5＝a1＝(x+y)•3−λ

23＝a2＝(2x+y)•9−λ

95＝a3＝(3x+y)•27−λ

，解得λ＝−(1)/(2)，x＝1，y＝(1)/(2)，
∴an＝(n+(1)/(2))•3n+(1)/(2)，
∵an＝(n+(1)/(2))•3n+(1)/(2)，
∴λ＝(1)/(2)．
（Ⅲ）∵an＝(n+(1)/(2))•3n+(1)/(2)，
记Tn＝(1+(1)/(2))•31+(2+(1)/(2))•32+…+(n+(1)/(2))•3n，①
∴3Tn＝(1+

作业帮用户 2017-10-27

问题解析

（Ⅰ）由数列{a_n}满足递推式分别取n=2，3，利用递推思想能求出a₂，a₃的值．
（Ⅱ）设(an+λ)/(3n)＝xn+y，从而得到an＝(xn+y)•3n−λ，由a₁=5，a₂=23，a₃=95，利用待定系数法能求出λ的值及{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）由an＝(n+(1)/(2))•3n+(1)/(2)，利用错位相减法能求出{a_n}的前n项和S_n．

名师点评

本题考点：

数列的求和；数列递推式．

考点点评：

本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．

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