25.一道多元函数微分的小题已知（axy^3-y^2cosx)dx+(bysinx+3x^2y^2)dy为某一函数f(x,y)的全微分,求a,b的值.

Question

25.一道多元函数微分的小题
已知（axy^3-y^2 cosx)dx+(bysinx+3x^2 y^2)dy为某一函数f(x,y)的全微分,求a,b的值.

Answer 1

函数f（x,y）的全微分可以表示为f‘_x dx+f’_y dy
由df=（axy^3-y^2 cosx)dx+(bysinx+3x^2 y^2)dy=f‘_x dx+f’_y dy
所以有f‘_x=axy^3-y^2 cosx
则两遍积分得f（x,y）=（1/2）*a* x^2 * y^3-y^2 *sinx +g（y）
两边对y求偏导,得到f‘_y =3/2 *a*x^2 *y^2 -2*y*sinx+g ’（y）
又f’_y =bysinx+3x^2 y^2
所以可知当且仅当：a=2,b=-2时满足条件.