已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log2x．（Ⅰ）求当x＜0时，函数f（x）的表达式；（Ⅱ）求满足f（x+1）＜-1的x的取值范围；（Ⅲ）已知对于任意

Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，当x＞0时，f（x）=log₂x．
（Ⅰ）求当x＜0时，函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）求满足f（x+1）＜-1的x的取值范围；
（Ⅲ）已知对于任意的k∈N，不等式2^k≥k+1恒成立，求证：函数f（x）的图象与直线y=x没有交点．

Answer 1

（Ⅰ）当x＜0时，则有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），由此求得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）由于 ，可得，由f（x+1）＜-1，可得，或．
由此解得x的范围．
（Ⅲ）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可．令x∈（0，+∞），函数y₁=log₂x，y₂=x，分①当x∈（0，1]时，②当x∈（2^k，2^k+1]（k∈N）时这2种情况，分别求得y₁＜y₂，可得在x∈（0，+∞）上直线y=x始终在y=log₂x的图象之上方，命题得证．
【解析】
（Ⅰ）当x＜0时，则有-x＞0，故f（-x）=log₂（-x）=-f（x），∴f（x）=-log₂（-x）．------（5分）
（Ⅱ）由于 ，
∴，
因为f（x+1）＜-1，∴，或．
解得x＜-3，或．----（10分）
（Ⅲ）根据对称性，只要证明函数f（x）的图象与直线y=x在x∈（0，+∞）上无交点即可．
令x∈（0，+∞），函数y₁=log₂x，y₂=x，
①当x∈（0，1]时，y₁≤0，y₂＞0，则y₁＜y₂，
②当，
则在x∈（0，+∞）上直线y=x始终在y=log₂x的图象之上方．
综上所述，由于对称性可知，函数f（x）的图象与直线y=x没有交点．---------（15分）