已知直线x-2y+2与圆C：x2+y2-4y+m=0相交，截得的弦长为255（1）求圆C的方程；（2）过点M（-1，0）作圆C的切线，求切线的直线方程；（3）若抛物线y=x2上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和

Question

已知直线x-2y+2与圆C：x²+y²-4y+m=0相交，截得的弦长为(2√(5))/(5)
（1）求圆C的方程；
（2）过点M（-1，0）作圆C的切线，求切线的直线方程；
（3）若抛物线y=x²上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线PQ和PR都与圆C相切，判断直线QR与圆C的位置关系，并加以证明．

Answer 1

（1）圆心C（0，2）到直线x-2y+2与的距离为d=(2)/(√(5))，
∵截得的弦长为(2√(5))/(5)，∴r=1
∴圆C的方程为：x²+（y-2）²=1 …4分
（2）斜率不存在时，x=-1满足题意；
斜率存在时，设直线方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
圆心到直线的距离d=(|-2+k|)/(√(k2+1))=1，∴k=-(3)/(4)，切线方程为3x+4y+3=0，
综上所述，切线方程为x=-1或3x+4y+3=0；
（3） 设P（a，a²），Q（b，b²），R（c，c²），可得k_PQ=a+b，
直线PQ的方程为y-a²=（a+b）（x-a），即为y=（a+b）x-ab，
同理可得，直线PR的方程为y=（a+c）x-ac，
直线QR的方程为y=（b+c）x-bc，
∵直线PQ和PR都与圆C相切，
∴(|2+ab|)/(√((a+b)2+1))=1，(|2+ac|)/(√((a+c)2+1))=1，即为b²（1-a²）-2ab+a²-3=0，
c²（1-a²）-2ac+a²-3=0，即有b，c为方程x²（1-a²）-2ax+a²-3=0的两根，
可得b+c=(2a)/(1-a2)，bc=(a2-3)/(1-a2)，
由圆心到直线QR的距离为(|2+bc|)/(√(1+(b+c)2))=1，
则直线QR与圆C相切． …16分．