设线性方程组x1−x2−x3+x4−x5＝1x1+x2−3x3+x4+x5＝1（1）求该线性方程组的通解（要求用该方程组的一个特解与对应导出组的基础解系的线性组合之和来表示）；（2）写出该方程组解向量集合

Question

设线性方程组

x1−x2−x3+x4−x5＝1

x1+x2−3x3+x4+x5＝1

（1）求该线性方程组的通解（要求用该方程组的一个特解与对应导出组的基础解系的线性组合之和来表示）；
（2）写出该方程组解向量集合的一组极大线性无关组．

Answer 1

（1）线性方程组

x1−x2−x3+x4−x5＝1

x1+x2−3x3+x4+x5＝1

的增广矩阵
B=(A，b)＝

1	−1	−1	1	−1	1
1	1	−3	1	1	1

对B做初等行变换化为最简形矩阵，即
B＝

1	−1	−1	1	−1	1
1	1	−3	1	1	1

→

1	−1	−1	1	−1	1
0	2	−2	0	2	0

→

1	−1	−1	1	−1	1
0	1	−1	0	1	0

→

1	0	−2	1	0	1
0	1	−1	0	1	0

所以，

x1＝1+2x3−x4

x2＝x3−x5

，
所以

x1

x2

x3

x4

x5

＝c1

2

1

1

0

0

+c2

−1

0

0

1

0

+c3

0

−1

0

0

1

+

1

0

0

0

0

，c₁，c₂，c₃为任意常数．
（2）由方程组基础解系中各解向量线性无关，易得方程组解向量集合的一组极大无关组
α＝

2

1

1

0

0

+

1

0

0

0

0

=

3

1

1

0

0

，β＝

−1

0

0

1

0

+

1

0

0

0

0

＝

0

0

0

1

0

，γ＝

0

−1

0

0

1

+

1

0

0

0

0

＝

1

−1

0

0

1