设函数f（x）=logbx2−2x+21+2ax（b＞0，b≠1）（1）求f（x）的定义域；（2）b＞1时，求使f（x）＞0的所有x值．

Question

设函数f（x）=log_b(x2−2x+2)/(1+2ax)（b＞0，b≠1）
（1）求f（x）的定义域；
（2）b＞1时，求使f（x）＞0的所有x值．

Answer 1

（1）∵f（x）=log_b(x2−2x+2)/(1+2ax)，x²-2x+2=（x-1）²+1＞0，
∴1+2ax＞0，
①当a＞0时，2ax＞-1，x＞-(1)/(2a)，定义域为（-(1)/(2a)，+∞）；
②当a=0时，1＞0，x∈R，定义域为R；
③当a＜0时，2ax＞-1，x＜-(1)/(2a)，定义域为（-∞，-(1)/(2a)）；
（2）f（x）＞0即log_b(x2−2x+2)/(1+2ax)＞log_b1，
∵b＞1，∴(x2−2x+2)/(1+2ax)＞1，
∴x²-2x+2＞1+2ax，即x²-（2+2a）x+1＞0，
令△=[-（2+2a）]²-4=4（a²+2a），
①当a＜-2时，△＞0，x²-（2+2a）x+1=0的两根为x1＝1+a−√(a2+2a)，x2＝1+a+√(a2+2a)，
这时x₁＜x₂=1+a+√(a2+2a)=(1)/(1+a−√(a2+2a))＜0＜-(1)/(2a)，
∴x＜1+a-

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

（1）要使f（x）有意义，须满足(x2−2x+2)/(1+2ax)＞0，易知x²-2x+2＞0，故只需解1+2ax＞0，按照a＞0，a=0，a＜0三种情况讨论可解不等式；
（2）根据对数函数的单调性可把不等式化为一元二次不等式，按对应二次方程的判别式△的符号分情况进行讨论，可解不等式，注意要与函数定义域取交集；

名师点评

本题考点：

指、对数不等式的解法；函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．

考点点评：

本题考查对数函数定义域、对数不等式的求解，考查含参数的一元一次、一元二次不等式的求解，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，运算量较大，综合性较强．

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