已知函数f（x）=x3+ax2-x+c（x∈R），下列结论错误的是（）A.函数f（x）一定存在极大值和极小值B.若函数f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上是增函数，则x2-x1≥233C.函数f（x）的图象是

Question

已知函数f（x）=x³+ax²-x+c（x∈R），下列结论错误的是（　　）

A. 函数f（x）一定存在极大值和极小值

B. 若函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函数，则x₂-x₁≥

(2√(3))/(3)

C. 函数f（x）的图象是中心对称图形

D. 函数f（x）的图象在点（x₀，f（x₀））（x₀∈R）处的切线与f（x）的图象必有两个不同的公共点

Answer 1

∵f′（x）=3x²+2ax-1．
∴△=4a²⁺12>0，
∴f′（x）=0有两解，不妨设为x₁2，列表如下

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	单调递增	极大值	单调递减	极小值	单调递增

由表格可知：
①x=x₁时，函数f（x）取到极大值，x=x₂时，函数f（x）取到极小值，故选项A正确，
②函数f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）上是增函数，x₂-x₁=√((x1+x2)2-4x1x2)=(2√(a2+3))/(3)≥(2√(3))/(3)，故选项B正确，
③∵f（-(2)/(3)a-x）+f（x）=(4a3)/(9)+(2a)/(3)，f（-(a)/(3)）=(2a3)/(9)+(a)/(3)，∴f（-(2)/(3)a-x）+f（x）=2f（-(a)/(3)），∴（-(a)/(3)，f（-(a)/(3)））为对称中心，故选项C正确，
选项A，B，C都正确，利用排除法，选项D错误，
即函数f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线与f（x）的图象可以有一个不同公共点．
故选：D．