已知O为原点，双曲线x2a2-y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（）A．2B．3C．52D．233

Question

已知O为原点，双曲线(x2)/(a2)-y²=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为（　　）

A．√(2)
B．√(3)
C．(√(5))/(2)
D．(2√(3))/(3)

Answer 1

渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，
过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay-m-an=0与OA方程：x-ay=0交点是A（(m+an)/(2)，(m+an)/(2a)），
|OA|=|(m+an)/(2)|√(1+(1)/(a2))，P点到OA的距离是：d=(|m−an|)/(√(1+a2))
∵|OA|•d=1，
∴|(m+an)/(2)|√(1+(1)/(a2))•(|m−an|)/(√(1+a2))=1，
∵(m2)/(a2)−n2＝1，
∴a=2，∴c=√(5)，
∴e=(√(5))/(2)．
故选：C．