（2013•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）经过点M（32，2），椭圆的离心率e=223，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作

Question

（2013•盐城一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）经过点M（3√(2)，√(2)），椭圆的离心率e=(2√(2))/(3)，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点M作两直线与椭圆C分别交于相异两点A、B．
①若直线MA过坐标原点O，试求△MAF₂外接圆的方程；
②若∠AMB的平分线与y轴平行，试探究直线AB的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

（1）由椭圆的离心率e=(2√(2))/(3)，可得a²=9b²，故椭圆方程为(x2)/(9b2)+(y2)/(b2)＝1…（3分）
又椭圆过点M（3√(2)，√(2)），则(18)/(9b2)+(2)/(b2)＝1，解得b²=4，
所以椭圆的方程为(x2)/(36)+(y2)/(4)＝1…（5分）
（2）①记△MAF₂的外接圆的圆心为T．
因为kOM＝(1)/(3)，所以MA的中垂线方程为y=-3x+5√(2)，
又由M（3√(2)，

作业帮用户 2017-10-22

问题解析

（1）利用椭圆的离心率化简方程，根据椭圆过点M（3√(2)，√(2)），即可求椭圆C的方程；
（2）①求得MA的中垂线方程、MF₂的中垂线方程，从而可得圆心与半径，即可求△MAF₂外接圆的方程；
②直线与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合斜率公式，即可得到结论．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率；椭圆的标准方程．

考点点评：

本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的外接圆，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

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