已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2x．（1）求f（log213）的值；（2）求f（x）的解析式．

Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，并且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x．
（1）求f（log₂(1)/(3)）的值；
（2）求f（x）的解析式．

Answer 1

（1）∵f（x）为奇函数，且当x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x，
∴f（log₂(1)/(3)）=f（-log₂3）=-f（log₂3）=-2log23=-3．
（2）设任意的x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=2^x，∴f（-x）=2^-x，
又f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
∴f（x）=-f（-x）=-2^-x，即当x∈（-∞，0）时，f（x）=-2^-x；
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
综上可知，f（x）=

2x，x＞0

0，x＝0

−2−x，x＜0

．