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如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,O是斜边AB的中点,点D、E分别在直角边AC、BC上,且∠DOE=90°,DE交OC于点P.则下列结论:①图形中全等的三角形只有两对;②△ABC的面积等于四边形CDOE面
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①图形中全等的三角形只有两对;
②△ABC的面积等于四边形CDOE面积的2倍;
③CD+CE=
2 |
④AD2+BE2=2OP•OC.
其中,正确结论的序号是______.
▼优质解答
答案和解析
结论①错误.理由如下:
图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,
∴∠AOD=∠COE.
在△AOD与△COE中,
,
∴△AOD≌△COE(ASA).
同理可证:△COD≌△BOE.
结论②正确.理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△COE,
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=
S△ABC,
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.
结论③正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴CE=AD,
∴CD+CE=CD+AD=AC=
OA.
结论④正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴AD=CE;
∵△COD≌△BOE,
∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,
∴AD2+BE2=DE2.
∵△AOD≌△COE,
∴OD=OE,
又∵OD⊥OE,
∴△DOE为等腰直角三角形,
∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.
∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,
∴△OEP∽△OCE,
∴
=
,即OP•OC=OE2.
∴DE2=2OE2=2OP•OC,
∴AD2+BE2=2OP•OC.
综上所述,正确的结论是②③④.
故答案为:②③④.
图中全等的三角形有3对,分别为△AOC≌△BOC,△AOD≌△COE,△COD≌△BOE.
由等腰直角三角形的性质,可知OA=OC=OB,易得△AOC≌△BOC.
∵OC⊥AB,OD⊥OE,
∴∠AOD=∠COE.
在△AOD与△COE中,
|
∴△AOD≌△COE(ASA).
同理可证:△COD≌△BOE.
结论②正确.理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴S△AOD=S△COE,
∴S四边形CDOE=S△COD+S△COE=S△COD+S△AOD=S△AOC=
1 |
2 |
即△ABC的面积等于四边形CDOE的面积的2倍.
结论③正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴CE=AD,
∴CD+CE=CD+AD=AC=
2 |
结论④正确,理由如下:
∵△AOD≌△COE,
∴AD=CE;
∵△COD≌△BOE,
∴BE=CD.
在Rt△CDE中,由勾股定理得:CD2+CE2=DE2,
∴AD2+BE2=DE2.
∵△AOD≌△COE,
∴OD=OE,
又∵OD⊥OE,
∴△DOE为等腰直角三角形,
∴DE2=2OE2,∠DEO=45°.
∵∠DEO=∠OCE=45°,∠COE=∠COE,
∴△OEP∽△OCE,
∴
OE |
OC |
OP |
OE |
∴DE2=2OE2=2OP•OC,
∴AD2+BE2=2OP•OC.
综上所述,正确的结论是②③④.
故答案为:②③④.
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