已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C的点到焦点的距离的最大值为3.最小值为11求椭圆C的标准方程2若直线L:y=kx+m与椭圆C相较于AB2点(A,B部位左右顶点)且以AB为直径的圆过椭

Question

已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在x轴上,椭圆C的点到焦点的距离的最大值为3.最小值为1
1 求椭圆C的标准方程 2 若直线L:y=kx+m与椭圆C相较于A B2点 (A, B部位左右顶点)且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点,求证L直线过定点.并求出该定点的坐标?

Answer 1

1 由题可知,a+c=3,a-c=1,得a=2,c=1,则b=根号3
椭圆方程为x^2/4+y^2/3=1
2 设A（x1,y1）B(x2,y2),将y=kx+m代入椭圆得(3+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-12=0
则x1,x2是上面方程的根,则x1+x2=-8km/(3+4k^2),x1x2=(4m^2-12)/(3+4k^2)
则y1+y2=k(x1+x2)+2m=6m/(3+4k^2).
则AB中点D（-4km/(3+4k^2),3m/(3+4k^2)).则AB中点在直线y=-3/(4k)x上
右顶点为E（2,0）,则ED^2=1/4AB^2,得7m^2+16km+4k^2=0
即(7m+2k)(m+2k)=0,
7m+2k=0.则y=kx+m过点(2/7,0)
m+2k=0,则y=kx+m过点(2,0)