一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（）A.20πB.205π3C.5πD.55π6

Question

一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（　　）

A. 20π

B.

(20√(5)π)/(3)

C. 5π

D.

(5√(5)π)/(6)

Answer 1

作出六棱柱的最大对角面与外截球的截面，如右图，则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边，
设球心为O，正六棱柱的上下底面中心分别为O₁，O₂，则球心O是O₁，O₂的中点．
∵正六棱柱底面边长为1，侧棱长为1，
∴Rt△AO₁O中，AO₁=1，O₁O=(1)/(2)，可得AO=√(12+((1)/(2))2)=(√(5))/(2)，
因此，该球的体积为V=(4)/(3)π•（(√(5))/(2)）³=(5√(5)π)/(6)．
故选：D．