已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．

Question

已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10．
（1）求弦AB所对的圆心角α的大小；
（2）求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S．

Answer 1

（1）由⊙O的半径r=10=AB，知△AOB是等边三角形，
∴α=∠AOB=60°=(π)/(3)．
（2）由（1）可知α=(π)/(3)，r=10，∴弧长l=α•r=(π)/(3)×10=(10π)/(3)，
∴S_扇形=(1)/(2)lr=(1)/(2)×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (π)/(3)πππ333．
（2）由（1）可知α=(π)/(3)，r=10，∴弧长l=α•r=(π)/(3)×10=(10π)/(3)，
∴S_扇形=(1)/(2)lr=(1)/(2)×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (π)/(3)πππ333，r=10，∴弧长l=α•r=(π)/(3)×10=(10π)/(3)，
∴S_扇形=(1)/(2)lr=(1)/(2)×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (π)/(3)πππ333×10=(10π)/(3)，
∴S_扇形=(1)/(2)lr=(1)/(2)×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (10π)/(3)10π10π10π333，
∴S_扇形扇形=(1)/(2)lr=(1)/(2)×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (1)/(2)111222lr=(1)/(2)×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (1)/(2)111222×(10π)/(3)×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (10π)/(3)10π10π10π333×10=(50π)/(3)，
而S_△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (50π)/(3)50π50π50π333，
而S_△AOB△AOB=(1)/(2)•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (1)/(2)111222•AB•(10√(3))/(2)=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (10√(3))/(2)10√(3)10√(3)10√(3)

3

33222=(1)/(2)×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (1)/(2)111222×10×(10√(3))/(2)=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (10√(3))/(2)10√(3)10√(3)10√(3)

3

33222=(50√(3))/(2)，
∴S=S_扇形-S_△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． (50√(3))/(2)50√(3)50√(3)50√(3)

3

33222，
∴S=S_扇形扇形-S_△AOB△AOB=50((π)/(3)−(√(3))/(2))． ((π)/(3)πππ333−(√(3))/(2)√(3)√(3)√(3)

3

33222)．