已知：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CH垂直平分BD（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若∠BCD=60°，求证：AB+AD=AC．

Question

 已知：四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，CH垂直平分BD

（1）求证：AC平分∠BAD；     
（2）若∠BCD=60°，求证：AB+AD=AC．

Answer 1

证明：（1）过C作CM⊥AB，CN⊥AD，
∴∠BMC=∠CND=90°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDN=180°，
∴∠ABD=∠CDN，
∵CH垂直平分BD，
∴CB=CD，
在△CBM和△CDN中

∠CMB＝∠CND

∠ABC＝∠CDN

CB＝CD

，
∴△CBM≌△CND（AAS），
∴CM=CN，
∴AC平分∠BAD；
（2）延长BA到E，使AE=AD，
∵∠BCD=60°，
∴∠BAD=120°，
∴∠EAD=60°，
∴△AED为等边三角形，
∴AD=ED，
∵CB=CD，∠BCD=60°，
∴△CBD是等边三角形，
∴BD=CD，
∵∠ADE=∠BDC=60°，
∴∠BDE=∠ADC，
在△BDE和△CAD中

AD＝DE

∠BDE＝∠ADC

DB＝CD

，
∴△EBD≌△ACD（SAS），
∴BE=AC，
又∵AE=AD，BE=AE+AB，
∴AD+AB=AC．