若直线y=m是函数f(x)=根号3cos²wx-sinwxcoswx-根号3\2的图像的一条切线并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列,（1）求w和m的值(2)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,若（A\2,0）是函数f（x）图像

Question

若直线y=m是函数f(x)=根号3cos²wx-sinwxcoswx-根号3\2的图像的一条切线
并且切点横坐标依次成公差为π的等差数列,
（1）求w和m的值
(2)在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,若（A\2,0）是函数f（x）图像的一个对称中心,且a=4,b+c的最大值

Answer 1

f(x) = √3cos²wx - sinwxcoswx - √3/2
= √3/2(2cos²wx -1) - sinwxcoswx
= √3/2 cos2wx - 1/2sin2wx
= cos2wxcosπ/6 - sin2wxsinπ/6
= cos(2wx+π/6)
y=m与f(x)=cos(2wx+π/6)的图像相切,则m对应其最大值或最小值,m=±1
切点横坐标依次成公差为π的等差数列,则最小正周期=π,2π/(2w)=π,w=1
f(x)=cos(2x+π/6)
∵（A/2,0）是函数f（x）图像的一个对称中心
∴f(A/2)=cos(A+π/6)=0
A+π/6=π/2
A=π/3
B+C=π-π/3=2π/3
C=2π/3-B
正弦定理：b/sinB=c/sinC=a/sinA
b=asinB/sinA=4sinB/(sinπ/3)=4sinB/(√3/2) = 8sinB/√3
c=8sinC/√3=8sin(2π/3-B)/√3
b+c = 8sinB/√3 + 8sin(2π/3-B)/√3
= 8/√3 ｛sinB + sin(2π/3-B) }
= 8/√3 ｛sinB + sin2π/3cosB - cos2π/3sinB }
= 8/√3 ｛sinB + √3/2cosB +1/2sinB }
= 8/√3 ｛3/2sinB + √3/2cosB }
= 8｛√3/2sinB + 1/2cosB }
= 8｛sinBcosπ/6 + cosBsinπ/6 }
= 8sin(B+π/6)
0＜B＜2π/3
π/6＜B+π/6＜5π/6
B+π/6=π/2时,8sin(B+π/6)取最大值8
即：b+c最大值8