椭圆x²/4+y²/2=1的左右焦点分别为F1F2,直线l过F2与椭圆交于AB两点O为坐标原点以AB为直径的圆恰好过O点求直线的方程

Question

椭圆x²/4+y²/2=1的左右焦点分别为F1F2,直线l过F2与椭圆交于AB两点
O为坐标原点以AB为直径的圆恰好过O点求直线的方程

Answer 1

∵ a²=4 ,b²=2 ,
∴ c²=a²-b²=2 ,
则 F2(√2,0),
设直线 L的方程为 y=k(x-√2) ,
代入椭圆方程得
x²+2k²(x-√2)²=4 ,
即 (2k²+1)x²-4√2k²*x+(4k²-4)=0 ,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
利用韦达定理
∴ x1+x2= 4√2k²/(2k²+1) ,x1*x2=(4k²-4)/(2k²+1) ,
又 y1*y2=k²(x1-√2)(x2-√2).
∵ 以AB为直线的圆过原点O ,
∴ OA⊥OB
∴ x1x2+y1y2=0 ,
即 (k²+1)(x1x2-√2k²(x1+x2)-2k²=0
代入x1+x2= 4√2k²/(2k²+1) ,x1*x2=(4k²-4)/(2k²+1) ,
∴ k=±√2 ,
∴ L 的方程为 y=√2x-2 或 y= -√2x+2 .
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