已知函数f（x）=2x+2ax-b（a，b∈R）满足f（-2）=174，f（3）=658．（1）判断并证明函数f（x）在（-∞，0]上的单调性；（2）若不等式f（x）-2t≥0对于∀x∈（-∞，+∞）恒成立，求实数t的最大值

Question

已知函数f（x）=2^x+2^ax-b（a，b∈R）满足f（-2）=(17)/(4)，f（3）=(65)/(8)．
（1）判断并证明函数f（x）在（-∞，0]上的单调性；
（2）若不等式f（x）-2t≥0对于∀x∈（-∞，+∞）恒成立，求实数t的最大值．

Answer 1

（1）∵f（x）=2^x+2^ax-b（a，b∈R）满足f（-2）=(17)/(4)，f（3）=(65)/(8)．
∴

2-2+2-2a-b=(17)/(4)

23+23a-b=(65)/(8)

，解得

a=-1

b=0

，
∴f（x）=2^x+2^-x，
f（x）在（-∞，0]上单调递减．
证明：∵x≤0，∴0<2^x≤1，2^-x≥1，
∴f′（x）=ln2（2^x-2^-x）≤0，
∴函数f（x）在（-∞，0]上的单调递减；
（2）∵f（x）=2^x+2^-x，
∴不等式f（x）-2t≥0对于∀x∈（-∞，+∞）恒成立⇔t≤(1)/(2)（2^x+2^-x）_min，
∵f（-x）=2^x+2^-x≥2√(2x•2-x)=2（当且仅当x=0时取等号），
∴(1)/(2)（2^x+2^-x）_min=1，
∴t≤1，
即实数t的最大值为1．