两道数学题(1)证明:若a为整数,则a^2+5a+16必不能被169整除.(2)老师想了一个两位正奇数,对小王和小李说:只告诉小王:约数的个数.告诉小李:各位数的和.下面是小王和小李的对话:小王:我不知道这

Question

两道数学题
(1)证明:若a为整数,则a^2+5a+16必不能被169整除.
(2)老师想了一个两位正奇数,对小王和小李说:
只告诉小王:约数的个数.
告诉小李:各位数的和.
下面是小王和小李的对话:
小王:我不知道这个数.
小李:我也不知道这个数,但我知道这个数是质数或是合数.
小王:我知道这个数了.
小李:我也知道这个数了.
小王和小李都是非常聪明的孩子,他们说话都是有根据的.
那么这个数是什么?(请说明过程)

Answer 1

1.若存在正整数x，使169｜x＾2+5x+16，则13＾2｜（x-4）＾2+13x，故13｜（x-4）＾2，于是13＾2｜（x-4）＾2，而13＾2｜（x-4）＾2+13x，故13｜x，但这与13｜x-4矛盾．所以，命题成立．
2.”我也不知道这个数,但我知道这个数是质数或是合数. ”说明各位数的和是3.6.9.12.15.18
”小王:我知道这个数了. ”，他从3k中找出符合的（3＜k＜33），当k＝5.7.9.11.13.17.19.23.29.31时，3k的约数个数为4；当k＝15.21.25.33时，3k的约数个数为6；仅当k＝9，3k＝81时，3k的约数个数为5，所以是81．