若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切，则a的值是（）A.1B.164C.1或164D.1或-164

Question

若存在过点O（0，0）的直线l与曲线f（x）=x³-3x²+2x和y=x²+a都相切，则a的值是（　　）

A. 1

B.

(1)/(64)

C. 1或

(1)/(64)

D. 1或-

(1)/(64)

Answer 1

设直线l：y=kx．∵y′=3x²-6x+2，∴y′|_x=0=2，
又∵直线与曲线均过原点，于是直线y=kx与曲线y=x³-3x²+2相切于原点时，k=2．直线l的方程为2x-y=0
若直线与曲线f（x）=x³-3x²+2x切于点（x₀，y₀）（x₀≠0），则k=(y0)/(x0)，∵y₀=x₀³-3x₀²+2x₀，
∴(y0)/(x0)=x₀²-3x₀+2，
又∵k=y′|_x=x0=3x₀²-6x₀+2，
∴x₀²-3x₀+2=3x₀²-6x₀+2，∴2x₀²-3x₀=0，
∵x₀≠0，∴x₀=(3)/(2)，∴k=x₀²-3x₀+2=-(1)/(4)，直线l的方程为x+4y=0．
直线l的方程为2x-y=0与y=x²+a联立，可得x²-2x+a=0，其中△=0，即（-2）²-4a=0，解得a=1；
直线l的方程为x+4y=0与y=x²+a联立，可得x²+(1)/(4)x+a=0，其中△=0，即（(1)/(4)）²-4a=0，解得a=(1)/(64)．
故选：C