如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=23，E是PB上任意一点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）已知二面角A-PB-D的余弦值为155，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=2，BD=2√(3)，E是PB上任意一点．
（Ⅰ）求证：AC⊥DE；
（Ⅱ）已知二面角A-PB-D的余弦值为(√(15))/(5)，若E为PB的中点，求EC与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

（I）证明：∵PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴PD⊥AC
又∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC，BD∩PD=D
∴AC⊥平面PBD，∵DE⊂平面PBD
∴AC⊥DE…（6分）
（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，则A(1，0，0)，B(0，√(3)，0)，C(−1，0，0)，E(0，0，(t)/(2))，P(0，−√(3)，t)
由（I）知：平面PBD的法向量为

n1

＝(1，0，0)，
令平面PAB的法向量为

n2

＝(x，y，z)，则根据√(n2•AB＝0作业帮用户2017-10-14问题解析（I）证明线线垂直，正弦证明线面垂直，即证AC⊥平面PBD；（II）分别以OA，OB，OE方向为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设PD=t，用坐标表示点，求得平面PBD的法向量为n1＝(1，0，0)，平面PAB的法向量为n2＝(√(3)，1，(2√(3))/(t))，根据二面角A-PB-D的余弦值为(√(15))/(5)，可求t的值，从而可得P的坐标，再利用向量的夹角公式，即可求得EC与平面PAB所成的角．名师点评本题考点：用空间向量求直线与平面的夹角；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题．考点点评：本题考查线线垂直，考查线面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，利用空间向量解决线面角问题，属于中档题．扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)