在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定；②△ABC一定是钝角三角形；③sinA：sinB：sinC=7：5：3；④若b+c=8，则△ABC的面积是153

Question

在△ABC中，已知（b+c）：（c+a）：（a+b）=4：5：6，给出下列结论：
①由已知条件，这个三角形被唯一确定；
②△ABC一定是钝角三角形；
③sinA：sinB：sinC=7：5：3；
④若b+c=8，则△ABC的面积是(15√(3))/(2)．
其中正确结论的序号是 ______．

Answer 1

由已知可设b+c=4k，c+a=5k，a+b=6k（k＞0），
则a=(7)/(2)k，b=(5)/(2)k，c=(3)/(2)k，
∴a：b：c=7：5：3，
∴sinA：sinB：sinC=7：5：3，∴③正确；
同时由于△ABC边长不确定，故①错；
又cosA=(b2+c2−a2)/(2bc)＝((25)/(4)k2+(9)/(4)k2−(49)/(4)k2)/(2×(5)/(2)×(3)/(2)k2)
=-(1)/(2)＜0，
∴△ABC为钝角三角形，∴②正确；
若b+c=8，则k=2，∴b=5，c=3，
又A=120°，∴S_△ABC=(1)/(2)bcsinA=(15)/(4)√(3)，故④错．
故答案：②③