已知函数h（x）=（x-a）ex+a．（1）若x∈[-1，1]，求函数h（x）的最小值；（2）当a=3时，若对∀x1∈[-1，1]，∃x2∈[1，2]，使得h（x1）≥x22-2bx2-ae+e+152成立，求b的范围．

Question

已知函数h（x）=（x-a）e^x+a．
（1）若x∈[-1，1]，求函数h（x）的最小值；
（2）当a=3时，若对∀x₁∈[-1，1]，∃x₂∈[1，2]，使得h（x₁）≥x₂²-2bx₂-ae+e+(15)/(2)成立，求b的范围．

Answer 1

（1）h'（x）=（x-a+1）e^x，令h'（x）=0得x=a-1．
当a-1≤-1即a≤0时，在[-1，1]上h'（x）≥0，函数h（x）=（x-a）e^x+a递增，h（x）的最小值为h(-1)=a-(1+a)/(e)．
当-1<a-1<1即0<a<2时，在x∈[-1，a-1]上h'（x）≤0，h（x）为减函数，在x∈[a-1，1]上h'（x）≥0，h（x）为增函数．∴h（x）的最小值为h（a-1）=-e^a-1+a．
当a-1≥1即a≥2时，在[-1，1]上h'（x）≤0，h（x）递减，h（x）的最小值为h（1）=（1-a）e+a．
综上所述，当a≤0时h（x）的最小值为a-(1+a)/(e)，当a≥2时h（x）的最小值为（1-a）e+a，当0<a<2时，h（x）最小值为-e^a-1+a．
（2）令f(x)=x2-2bx-ae+e+(15)/(2)，
由题可知“对∀x₁∈[-1，1]，∃x₂∈[1，2]，使得h(x1)≥x22-2bx2-ae+e+(15)/(2)成立”
等价于“f（x）在[1，2]上的最小值不大于h（x）在[-1，1]上的最小值”．
即h（x）_min≥f（x）_min．
由（1）可知，当a=3时，h（x）_min=h（1）=（1-a）e+a=-2e+3．
当a=3时，f(x)=x2-2bx-2e+(15)/(2)=(x-b)2-b2-2e+(15)/(2)，x∈[1，2]，
①当b≤1时，f(x)min=f(1)=-2b-2e+(17)/(2)，
由-2e+3≥-2b-2e+(17)/(2)得b≥(11)/(4)，与b≤1矛盾，舍去．
②当1<b<2时，f(x)min=f(b)=-b2-2e+(15)/(2)，
由-2e+3≥-b2-2e+(15)/(2)得b2≥(9)/(2)，与1<b<2矛盾，舍去．
③当b≥2时，f(x)min=f(2)=-4b-2e+(23)/(2)，
由-2e+3≥-4b-2e+(23)/(2)得b≥(17)/(8)．
综上，b的取值范围是[(17)/(8)，+∞)．