设函数f（x）=ex（e为自然对数的底数），g（x）=x2-x，记h（x）=f（x）+g（x）．（1）h′（x）为h（x）的导函数，判断函数y=h′（x）的单调性，并加以证明；（2）若函数y=|h（x）-a|-1=0有两个零

Question

设函数f（x）=e^x（e为自然对数的底数），g（x）=x²-x，记h（x）=f（x）+g（x）．
（1）h′（x）为h（x）的导函数，判断函数y=h′（x）的单调性，并加以证明；
（2）若函数y=|h（x）-a|-1=0有两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）h（x）=f（x）+g（x）=e^x+x²-x，∴h'（x）=e^x+2x-1，
令F（x）=h'（x），则F'（x）=e^x+2＞0，
∴F（x）在（-∞，+∞）上单调递增，即h'（x）在（-∞，+∞）上单调递增．
（2）由（1）知h'（x）在（-∞，+∞）上单调递增，而h'（0）=0，
∴h'（x）=0有唯一解x=0，x，h'（x），h（x）的变化情况如下表所示：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h'（x）	-	0	+
h（x）	递减	极小值	递增

又∵函数y=|h（x）-a|-1有两个零点，
∴方程|h（x）-a|-1=0有两个根，即方程h（x）=a±1有两个根
而a+1＞a-1，∴a-1＜（h（x））_min=h（0）=1且a+1＞（h（x））_min=h（0）=1，
解得0＜a＜2．
所以，若函数y=|h（x）-a|-1有两个零点，实数a的取值范围是（0，2）