若把满足二元二次不等式(组)的平面区域叫做二次平面域.(1)画出9x2-16y2+144≤0对应的二次平面域;(2)求x2+y2的最小值;(3)求的取值范围.
(1)画出9x 2 -16y 2 +144≤0对应的二次平面域;
(2)求x 2 +y 2 的最小值;
(3)求 的取值范围.
思路分析:本题可以使用线性规划的基本思路,像二元一次不等式所示的区域一样,我们仍然可以用“线定界,点定域”的方法来确定9x 2 -16y 2 +144≤0所表示的平面区域.
(1)将原点坐标代入9x 2 -16y 2 +144,其值为144>0,因此9x 2 -16y 2 +144≤0表示的平面区域如图所示的阴影部分,即双曲线 - =1的含有焦点的区域.
(2)设P(x,y)为该区域内任意一点,由上图可知,当P与双曲线的顶点(0,±4)重合时,|OP|取得最小值4.所以,x 2 +y 2 =|OP| 2 =16.
(3)取Q(2,0),则直线PQ的斜率为k= ,其直线方程为y=k(x-2),代入9x 2 -16y 2 +144=0得(9-16k 2 )x 2 +64k 2 x-64k 2 +144=0,由Δ=0得k=± ,由图可知k≥ 或k≤- .
故所求 的取值范围是(-∞,- ]∪[ ,+∞).
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