如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，

Question

如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，O是BC边上的中点，N是AB边上的点（不与端点重合），M是OB边上的点，且MN∥AO，延长CA与直线MN相交于点D，G点是AB延长线上的点，且BG=AN，连接MG，设AN=x，BM=y．
（1）求y关于x的函数关系式及其定义域；
（2）连接CN，当以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切时，求∠ACN的正切值；
（3）当△ADN与△MBG相似时，求AN的长．

Answer 1

（1）y= （0＜x＜6）      （2）tan∠ACN=
（3）AN的长为2或

试题分析：（1）∵MN∥AO，
∴△BMN∽△BOA，
∴ = ，
∵∠C=90°，AC=BC，AB=6，
∴由勾股定理得：BC=3 ，
∵O是BC边上的中点，
∴BO= ，
∵AN=x，BM=y，
∴ = ，
∴y= （0＜x＜6）；
（2）
∵以DN为半径的⊙D和以MG为半径的⊙M外切，
∴DN+MG=DM，又DN+MN=DM，
∴MG=MN，
∴∠MNG=∠G，
又∵∠MNG=∠AND，
∴∠AND=∠G，
∵AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA，
∴∠DAN=∠MBG，
又∵AN=BG，
∴△AND≌△BGM，
∴DN=MG=MN，
∵∠ACB=90°，
∴CN=DN，
∴∠ACN=∠D，
∵∠ACB=90°，AC=BC，O是BC边上的中点，
∴tan∠CAO= = ，
∵MN∥AO，
∴∠CAO=∠D，
∴∠CAO=∠ACN，
∴tan∠ACN= ；
（3）∵∠DAN=∠MBG，当△ADN与△MBG相似时，分为两种情况：
①若∠D=∠BMG时，过点G作GE⊥CB，垂足为点E，
tan∠BMG= = ，
∵∠ACB=90°，GE⊥BC，
∴AC∥GE，
∴∠BGE=∠CAB=45°，
∵∠ABC=∠GBE=45°，
∴∠ABC=∠GBE=∠BGE=45°，
∴BE=EG，
∴BM=BE，
∴由勾股定理得：y= x，
∵由（1）知：y= ，
∴解得：x=2；
②若∠D=∠G时，过点M作MF⊥AB，垂足为点F，
∴tan∠G= = ，
∴FG=2MF，
∵∠C=90°，AC=BC，
∴∠MBF=∠CAB=45°，
∵∠MFB=90°，
∴∠FMB=∠MBF=45°，
∴BF=MF，
∵FG=2MF=BF+BG，
∴BF=BG，
∴x= y，
由（1）知：y= ，
∴解得：x= ；
综上所述，当△ADN与△MBG相似时，AN的长为2或 ．
点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，勾股定理等知识点的运用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，难度偏大，分类讨论思想的运用．