如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．（1）求证：△PAB≌△AQE；（2）连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求PCMB的值；（3）如图2

Question

如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．

（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC=2PB，求(PC)/(MB)的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子(QF-DP)/(DF)的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC=90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
∴AP=AQ，∠ABQ=∠QEA=90°，∠QAE+∠BAP=∠BAP+∠APB=90°，
∴∠QAE=∠APB，
在△PAB和△AQE中，

∠ABQ=∠QEA

∠QAE=∠APB

AQ=PA

，
∴△PAB≌△AQE（AAS）；
（2） ∵△PAB≌△AQE，
∴AE=PB，
∵AB=CB，
∴QE=CB．
在△QEM和△CBM中，

∠QME=∠CMB

∠QEM=∠CBM

QE=CB

，
∴△QEM≌△CBM（AAS），
∴ME=MB，
∵AB=CB，AE=PB，PC=2PB，
∴BE=PC，
∵PC=2PB，
∴PC=2MB，
∴(PC)/(MB)=2；
（3）式子(QF-DP)/(DF)的值不会变化．
如下图2所示：作HA⊥AC交QF于点H，

∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，
∴∠QAH+∠HAP=∠HAP+∠PAD=90°，∠AQH=∠APD=90°，
∴∠QAH=∠PAD，
∵△PAQ为等腰直角三角形，
∴AQ=AP，
在△AQH和△APD中，

∠AQH=∠APD

AQ=AP

∠QAH=∠PAD

，
∴△AQH≌△APD（ASA），
∴AH=AD，QH=PD，
∵HA⊥AC，∠BAC=45°，
∴∠HAF=∠DAF，
在△AHF和△ADF中，

AH=AD

∠HAF=∠DAF

AF=AF

，
∴△AHF≌△ADF（SAS），
∴HF=DF，
∴(QF-DP)/(DF)=(QF-QH)/(HF)=(HF)/(HF)=1．