在直角三角形ABC中,角A＝90度,AF为斜边BC上的高,D为AC上一点,BD=DC=FC=1,则AC的长为多少?

Question

在直角三角形ABC中,角A＝90度,AF为斜边BC上的高,D为AC上一点,BD=DC=FC=1,则AC的长为多少?

Answer 1

AC=3次根号2
设AD=x,AE与BD交于点E,由题设易知AD=DE,
故BE=1-x
又△BEF∽△ACF得BF=(1-x)/(1+x)①
再设AB=y,BF=z,则x²+y²=1② ,y²=z(z+1)③ (射影定理)
由①,②,③有x²+2(1-x)/(1+x)²=1
即(x-1)[(x+1)(1+x)²-2]=0,∵x≠1
∴(x+1)^3-2=0
∴x=(3次根号2)-1,
故AC=AD+DC=(3次根号2)-1+1=3次根号2