如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AC=BC=AA1=a，∠ACB=90°，D是A1B1中点．（1）求证：C1D⊥平面A1B1BA；（2）请问，当点F在BB1上什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC=BC=AA₁=a，∠ACB=90°，D是A₁B₁中点．
（1）求证：C₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）请问，当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵AC=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵A₁D=DB₁，
∴C₁D⊥A₁B₁，
∵C₁D⊥A₁A，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA
（2）由（1）可得：C₁D⊥AB₁，
 又要使AB₁⊥平面C₁DF，只要DF⊥AB₁即可，
又∵∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，且AC=BC=AA₁=a，
∴A₁B₁=√(2)a，
∵△AA₁B₁∽△DB₁F，
∴(AA1)/(DB1)＝(A1B1)/(B1F)，
∴B₁F=a
即当：F点与B点重合时，会使AB₁⊥平面C₁DF．