已知等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF延长线于D,求BF=2CD

Question

已知等腰三角形ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,BF平分∠ABC,CD⊥BD交BF延长线于D,求BF=2CD

Answer 1

【共有三种方法】
【方法一】：利用等腰三角形三线合一
 
 【解】： 分别延长CD,BA交于点E 
在Rt△BDC与Rt△BDE中
∠CBD=∠EBD,BD=BD
所以,Rt△BDC≌Rt△BDE
则,CD=ED
可得,CE=CD+ED=2CD
因为,∠DCF+∠CFD=90° ,∠ABF+∠AFB=90° ,∠CFD=∠AFB（对顶角）
所以,∠DCF=∠AFB（等角的余角相等）
在Rt△CAE与Rt△BAF中
∠ECA=∠FBA ,AC=AB
所以,Rt△CAE≌Rt△BAF
可得,CE=BF
因为,CE=2CD
所以,BF=2CD
Q.E.D.
 
【方法二】：求线段的长度关系,可以用截取或连接的方法.
【解】：在BF上取一点G,使BG=CD,过点G作GH⊥BF,交AB于H,连接HF
方法一中已证得：∠DCF=∠GBH
在Rt△CDF与Rt△BGH中
∠DCF=∠GBH,CD=BG
所以,Rt△CDF≌Rt△BGH
可得,BH=CF
因为,AB=AC
所以,HF//BC（平行线分线段成比例定理的逆定理）
则,∠HFB=∠FBC（内错角）
因为,∠FBC=∠HBF
所以,∠HFB=∠HBF
那么,△HBF是等腰三角形
因为,HG⊥BF
所以,BG=FG（等腰三角形三线合一）
则,BF=BG+FG=2BG
因为,BG=CD（辅助线）
所以,BF=2CD
Q.E.D.
 
【方法三】：利用角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.
【解】：过点F作FM⊥BC,垂足为M
则△CMF也是等腰直角三角形
可得：CF=√2FM
因为,BF是∠ABC的角平分线,FA⊥AB,FM⊥BC
所以,FA=FM
则,CF=√2FM=√FA
由AB=AC=AF+CF
可得,AF=(√2-1)AC=(√2-1)AB            ……①
          CF=(2-√2)AB     …… ②
           
因为Rt△CDF∽Rt△BAF
所以,CD/AB=CF/BF   
即CD*BF=AB*CF   ……（*）
在Rt△FAB中
AB^2+AF^2=BF^2
把①式代入,
得：AB^2+[(√2-1)AB]^2=BF^2
解得：AB^2=(2+√2)/4 BF^2 ……③
把②代入③
得：BF^=[ (4-2√2)*(1+√2/2)^2 ]CF^2
整理得：CF^2=(2-√2) BF^2   ……④
 
把（*）两边同时平方
得：AD^2 * BF^2 = CF^2 * AB^2
把③和④代入（*）
得：AD^2 * BF^2 = (2-√2)BF^2 * (2+√2)/4 BF^2
解得：BF=2AD
Q.E.D. 
下附图参考：