如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为6π86π8．

Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为

(√(6)π)/(8)

(√(6)π)/(8)

．

Answer 1

∵∠DAB=60°∴三棱锥P-DCE各边长度均为1
∴三棱锥P-DCE为正三棱锥 P点在底面DCE的投影为等边△DCE的中心，设中心为O
∴OD=OE=OC=(√(3))/(3)
在直角△POD中：OP²=PD²-OD²=(2)/(3)
OP=(√(6))/(3)
∵外接球的球心必在OP上，设球心位置为O'，
则O'P=O'D 设O'P=O'D=R
则在直角△OO'D中：OO'²+OD²=O'D²（OP-O'P）²+OD²=O'D²（(√(6))/(3)-R）²+（(√(3))/(3)）²=R²R=(√(6))/(4)
∴体积为(4)/(3)πR³=(√(6)π)/(8)
故答案为：(√(6)π)/(8)