已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．①求证：∠AFC=120°；②若AD=6，CE=4，求AC的长？（2）如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，

Question

已知：在△ABC中，∠B=60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．
（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求证：∠AFC=120°；
②若AD=6，CE=4，求AC的长？
（2）如图2，若∠FAC=∠FCA=30°，求证：AD=CE．

Answer 1

（1）①∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC=(1)/(2)∠BAC，∠FCA=(1)/(2)∠BCA，
∵∠B=60°
∴∠BAC+∠BCA=120°，
∴∠AFC=180-∠FAC-∠FCA=180-(1)/(2)(∠BAC+∠BCA)=120°．

②在AC上截取AG=AD=6，连接FG．

∵AE、CD分别为△ABC的角平分线
∴∠FAC=∠FAD，∠FCA=∠FCE，
∵∠AFC=120°，
∴∠AFD=∠CFE=60°，
在△ADF和△AGF中

AD=AG

∠DAF=∠GAF

AF=AF

，
∴△ADF≌△AGF（SAS）
∴∠AFD=∠AFG=60°，
∴∠GFC=∠CFE=60°，
在△CGF和△CEF中

∠GFC=∠EFC

CF=CF

∠GCF=∠ECF

，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG=CE=4，
∴AC=10．

（2）在AE上截取FH=FD，连接CH．

∵∠FAC=∠FCA=30°
∴FA=FC，
在△ADF和△CHF中
∵

AF=CF

∠AFD=∠CFH

DF=HF

，
∴△ADF≌△CHF（SAS），
∴AD=CH，∠DAF=∠HCF，
∵∠CEH=∠B+∠DAF=60°+∠DAF
∠CHE=∠HAC+∠HCA=60°+∠HCF
∴∠CEH=∠CHE，
∴CH=CE，
∴AD=CE．