如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=26．（1）求证：A′C⊥EF；（2）求五棱锥A′-BCDFE的体积．

Question

如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，AD上，AE=AF=4，现将△AEF沿线段EF折起到△A′EF位置，使得A′C=2√(6)．

（1）求证：A′C⊥EF；
（2）求五棱锥A′-BCDFE的体积．

Answer 1

（1）证明：连接AC，设AC∩EF=H，连接A′H，则EF⊥AC，EF⊥A′H，
∵AC∩A′H=H，
∴EF⊥平面A′HC，
∵A′C⊂平面A′HC，
∴A′C⊥EF；
（2） 由ABCD是正方形，AE=AF=4，
得H是EF的中点，
且EF⊥AH，EF⊥CH，
从而有A′H⊥EF，CH⊥EF，
∴EF⊥平面A′HC，
从而平面A′HC⊥平面ABCD，
过点A′作A′O垂直HC且与HC相交于点O，
则A′O⊥平面ABCD．
∵正方形ABCD的边长为6，AE=AF=4，
得到：A′H=2√(2)，CH=4√(2)，
∴cos∠A′HC=(8+32-24)/(2×2√(2)×4√(2))=(1)/(2)，
∴HO=A′Hcos∠A′HC=√(2)，A′O=√(6)，
∴五棱锥A′-BCDFE的体积V=(1)/(3)×(62-(1)/(2)×4×4)×√(6)=(28√(6))/(3)．