已知一组数据x1，x2，…x6的平均数为1，方差为53（1）求：x12+x22+…+x62；（2）若在这组数据中加入另一个数据x7，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差（结果用分数表示）

Question

已知一组数据x₁，x₂，…x₆的平均数为1，方差为(5)/(3)
（1）求：x₁²+x₂²+…+x₆²；
（2）若在这组数据中加入另一个数据x₇，重新计算，平均数无变化，求这7个数据的方差（结果用分数表示）

Answer 1

（1）∵数据x₁，x₂，…x₆的平均数为1，
∴x₁+x₂+…+x₆=1×6=6，
又∵方差为(5)/(3)，
∴S²=(1)/(6)[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²]
=(1)/(6)[x₁²+x₂²+…+x₆²-2（x₁+x₂+…+x₆）+6]
=(1)/(6)（x₁²+x₂²+…+x₆²-2×6+6）
=(1)/(6)（x₁²+x₂²+…+x₆²）-1=(5)/(3)，
∴x₁²+x₂²+…+x₆²=16；

（2）∵数据x₁，x₂，…x₇的平均数为1，
∴x₁+x₂+…+x₇=1×7=7，
∵x₁+x₂+…+x₆=6，
∴x₇=1，
∵(1)/(6)[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²]=(5)/(3)，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₆-1）²=10，
∴S²=(1)/(7)[（x₁-1）²+（x₂-1）²+…+（x₇-1）²]
=(1)/(7)[10+（1-1）²]
=(10)/(7)．