如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（）A.40°B.45°C.50°D.55°

Question

如图，P为∠AOB内一定点，M、N分别是射线OA、OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM=50°，则∠AOB=（　　）

A. 40°

B. 45°

C. 50°

D. 55°

Answer 1

作P关于OA，OB的对称点P₁，P₂．连接OP₁，OP₂．则当M，N是P₁P₂与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，连接P₁O、P₂O，
∵PP₁关于OA对称，
∴∠P₁OP=2∠MOP，OP₁=OP，P₁M=PM，∠OP₁M=∠OPM=50°
同理，∠P₂OP=2∠NOP，OP=OP₂，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OP+∠P₂OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP₁=OP₂=OP，
∴△P₁OP₂是等腰三角形．
∴∠OP₂N=∠OP₁M=50°，
∴∠P₁OP₂=180°-2×50°=80°，
∴∠AOB=40°，
故选A．