（2013•金山区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°．（1）求证：△BPE∽△CFP．（2）设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并

Question

（2013•金山区二模）如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，E、F分别是AB、AC上的动点，∠EPF=45°．
（1）求证：△BPE∽△CFP．
（2）设BE=x，△PEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．
（3）当E、F在运动过程中，∠EFP是否可能等于60°？若可能求出x的值，若不可能请说明理由．

Answer 1

（1）如图，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°．
又∵∠1=180°-∠EPF-∠3，∠EPF=45°，∠C+∠2+∠3=180°，
∴∠1=135°-∠3，∠2=135°-∠3，
∴∠1=∠2，
∴△BPE∽△CFP．

（2）如图，∵在△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，P为BC的中点，
∴BP=CP=√(2)．
由（1）知△BPE∽△CFP，则(BP)/(CF)=(BE)/(CP)，即(√(2))/(CF)=(x)/(√(2))，
解得，CF=(2)/(x)．
则S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF
=(1)/(2)×2×2-(1)/(2)×√(2)x×sinB-(1)/(2)×√(2)×(2)/(x)×sinC-(1)/(2)×（2-x）×（2-(2)/(x)）
=2-

作业帮用户 2017-10-29

问题解析

（1）由等腰直角三角形的性质求得∠B=∠C=45°；然后由三角形内角和定理、邻补角的定义求得∠BPE=∠CFP，则由“两角法”证得结论；
（2）S_△PEF=S_△ABC-S_△BPE-S_△PFC-S_△AEF；
（3）利用反证法证明．假设当E、F在运动过程中，∠EFP是等于60°．如图，过点E作EM⊥FP于点M．设FM=a．构造两个直角三角形，通过解图中的两个直角三角形分别求得EM=

√(3)a．PM=√(3)a，EP=√(6)a，则(EP)/(FP)=(√(6)a)/(a+√(3)a)=(√(6))/(1+√(3))；再利用（1）中的全等三角形的对应边成比例得到(x)/(√(2))=(√(6))/(1+√(3))，解得x的值符合（2）中的取值范围时，假设成立．反之，假设不成立．

名师点评

本题考点：

相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．

考点点评：

本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．在利用相似三角形的对应边成比例来解题时，一定要找准“对应边”．

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