要在半径长为1米、圆心角为60°的扇形AOB铁皮上截取一块尽可能大的正方形．小明设计如下两种截取方案．方案一（如图1）：C在半径OA上，D、E在半径OB上，F在弧AB上；方案二（如图2）：C在O

Question

要在半径长为1米、圆心角为60°的扇形AOB铁皮上截取一块尽可能大的正方形．小明设计如下两种截取方案．
方案一（如图1）：C在半径OA上，D、E在半径OB上，F在弧AB上；
方案二（如图2）：C在OA上，D在OB上，E，F在弧AB上．
请通过计算这两种方案中正方形铁皮的面积帮小明选择合理的方案．（参考数据：√(2)≈1.41，√(3)≈1.73）

Answer 1

方案一：如图1
连接OF，设正方形CDEF的边长为x，
∵圆心角为60°，
∴OD=CDcot∠AOB=(√(3))/(3)x，
则在Rt△OFE中，
OF²=OE²+EF²，即1²=x²+（x+(√(3))/(3)x）²，
解得x²=(21−6√(3))/(37)，
∴S_{四边形CDEF}=x²=(21−6√(3))/(37)≈0.29；

方案二：如图2所示，
过O作OG⊥EF，交CD于点H，连接OE，
设EG=x，
∵四边形CDEF是正方形，
∴OH⊥CD，
∴EG=DH=x，
∵∠DOC=60°，H为CD中点，
∴OH=√(3)DH，
∴OG=OH+HG=√(3)HC+CF=√(3)x+2x，
在Rt△OEG中，
OE²=GE²+OG²，即1²=x²

作业搜用户 2017-11-04