已知曲线x^2/a^2y^2=1(a>0)与直线l:x+y=1已知曲线x^2/a^2-y^2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于A,B两点.（1）求离心率e的取值范围.（2）设l与y轴交于点P,且向量PA=5/12向量PB,求a的值.

Question

已知曲线x^2/a^2 y^2=1(a>0)与直线l:x+y=1
已知曲线x^2/a^2-y^2=1(a>0)与直线l:x+y=1交于A,B两点.
（1）求离心率e的取值范围.
（2）设l与y轴交于点P,且向量PA=5/12向量PB,求a的值.

Answer 1

c^2=a^2+b^2=a^2+1
e=c/a
e^2=c^2/a^2=1+1/a^2
所以 a^2=1/(e^2-1)
代入原方程就有：
(e^2-1)x^2-y^2-1=0
再将x+y=1,即y=(1-x)代入,有
(e^2-1)x^2-(x-x)^2-1=0
(e^2-2)x^2+2x-2=0 -----(1)
因为有两个交点,所以
判别式=4+2*4*(e^2-2)>0
e^2>3/2
所以 e>(√6)/2
L与y轴的交点是当x=0时,y=1,所以P点是(0,1),因为A、B在直线L上,所以我们令A(m,1-m),B(n,1-n),我们有：
m/n=5/12
并且 A、B是双曲线与L的交点,所以m,n是方程(1)的两个根
这样有,m+n=-2/(e^2-2),mn=-2/(e^2-2)
即mn=m+n,且m/n=5/12
解得m=17/5
n=17/12
e^2=458/289
这样,a^2=1/(e^2-1)=289/169
a>0
所以a=17/13