椭圆中,过焦点的弦AB被焦点分成的线段长m,n满足1/m+1/n=2a/b2的证明过程

Question

椭圆中,过焦点的弦AB被焦点分成的线段长m,n满足1/m+1/n=2a/b2的证明过程

Answer 1

证明：设椭圆方程x?/a?+y?/b?=1,焦点AB在x轴上,右交点B(c,0),过B点的弦CD.BC=m,BD=n.右准线x=a?/c 根据椭圆定义,设C点横坐标x,则有m/(a?/c-x)=c/a,可求出其横坐标,进而求出其纵坐标.故C点坐标可求,为C[a(a-m)/c,b/c√(-b?+2am-m?)],D[a(a-n)/c,-b/c√(-b?+2an-n?)].因为B、C、D三点共线,所以可用向量的方法解.向量BC=[(b?-am)/c,b/c√(-b?+2am-m?)]向量DB=[(-b?+an)/c,b/c√(-b?+2an-n?)]所以有[(b?-am)/c]/[(-b?+an)/c]=[b/c√(-b?+2am-m?)]/[b/c√(-b?+2an-n?)]展开后化简得到[2amn-b?(m+n)](a?-b?)(m-n)=0所以m-n=0或2amn-b?(m+n)=0 对于m-n=0,即是m=n,CD垂直于x轴,C、D横坐标与B相同,此时可求出m=n=b?/a,得到1/m+1/n=2a/b?对于2amn-b?(m+n)=0,即2amn=b?(m+n),得到2a/b?=1/m+1/n.所以命题获证.