已知椭圆的左右焦点分别为，点M（0,2）是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形。（1）求椭圆的方程；（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两条直线的斜率分别为

Question

已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点M（0,2）是椭圆的一个顶点，△ 是等腰直角三角形。

（1）求椭圆的方程；
（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两条直线的斜率分别为 ，且 ，证明：直线AB过定点。

Answer 1

已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点M（0,2）是椭圆的一个顶点，△ 是等腰直角三角形。

（1）求椭圆的方程；
（2）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两条直线的斜率分别为 ，且 ，证明：直线AB过定点。

（1 ）由已知可得 ，        
所求椭圆方程为 。  
（2）若直线AB的斜率存在，设AB方程为 ，依题意 。        
设         
由 ，得 。      
则 。        
由 已知 ，    所以 ，        
即 。  
所以 ，整理得 。       
故直线 AB 的方程为 ，即 。       
所以直线 AB 过定点（- ，-2）
若直线 AB 的斜率不存在，设AB方程为 ，
设 ， ，        
由已知 ， 得 。
此时 AB 方程为 ，显然过点 。        
综上，直线 AB 过定点 。