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20.设a,β分别是A的属于λ1,λ2的特征向量,而且λ1≠λ2,试证：a+β不可能是A的特征向量；
题目详情
20.设a,β分别是A的属于λ1,λ2的特征向量,而且λ1≠λ2,试证：a+β不可能是A的特征向量；
▼优质解答
答案和解析
证明:反证.
假设a+β是A的特征向量,λ是其对应的特征值,则有
A(a+β) = λ(a+β).
即有 Aa + Ab = λ(a+β).
把 Aa = λ1a,Ab = λ2b 代入得
λ1a + λ2b = λ(a+β)
整理得 (λ-λ1)a + (λ-λ2)b = 0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关,
所以 λ-λ1=0,λ-λ2=0.
所以 λ=λ1=λ2.
与已知λ1≠λ2矛盾.
命题得证.
假设a+β是A的特征向量,λ是其对应的特征值,则有
A(a+β) = λ(a+β).
即有 Aa + Ab = λ(a+β).
把 Aa = λ1a,Ab = λ2b 代入得
λ1a + λ2b = λ(a+β)
整理得 (λ-λ1)a + (λ-λ2)b = 0.
因为A的属于不同特征值的特征向量线性无关,
所以 λ-λ1=0,λ-λ2=0.
所以 λ=λ1=λ2.
与已知λ1≠λ2矛盾.
命题得证.
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