已知A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花

Question

已知 A、B两地相距2R，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为S₁，草坪的面积为S₂，取∠ABC=θ．
（1）用θ及R表示S₁和S₂；
（2）求(S1)/(S2)的最小值．

Answer 1

（1）因为∠ABC=θ，则AC=2Rsinθ，BC=2Rcosθ，
则S2＝(1)/(2)AC•BC＝2R2sinθcosθ＝R2sin2θ．（3分）
设AB的中点为O，连MO、NO，则MO⊥AC，NO⊥BC．
设MO交AC与点E．
则ME=MO-OE=R-(BC)/(2)=R-Rcosθ=R（1-cosθ）．
所以：S_△AMC=(1)/(2)|AC|•|ME|=R²sinθ（1-cosθ）；（5分）
同理可得三角形BNC的面积为R²cosθ（1-sinθ），（7分）
∴S₁=R²sinθ（1-cosθ）+R²cosθ（1-sinθ）=R²（sinθ+cosθ-2sinθcosθ）．（8分）
（2）∵(S1)/(S2)＝(R2(sinθ+cosθ−2sinθcosθ))/(2R2sinθcosθ)＝(sinθ+cosθ)/(2sinθcosθ)−1，（10分）
令sinθ+cosθ＝t∈(1，√(2)]，则2sinθcosθ=t²-1．
∴(S1)/(S2)＝(t)/(t2−1)−1＝(1)/(t−(1)/(t))−1．（12分）
∴(S1)/(S2)的最小值为√(2)−1．（14分）