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已知A、B两地相距2R,以AB为直径作一个半圆,在半圆上取一点C,连接AC、BC,在三角形ABC内种草坪(如图),M、N分别为弧AC、弧BC的中点,在三角形AMC、三角形BNC上种花,其余是空地.设花
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(1)用θ及R表示S1和S2;
(2)求
S1 |
S2 |
▼优质解答
答案和解析
(1)因为∠ABC=θ,则AC=2Rsinθ,BC=2Rcosθ,
则S2=
AC•BC=2R2sinθcosθ=R2sin2θ.(3分)
设AB的中点为O,连MO、NO,则MO⊥AC,NO⊥BC.
设MO交AC与点E.
则ME=MO-OE=R-
=R-Rcosθ=R(1-cosθ).
所以:S△AMC=
|AC|•|ME|=R2sinθ(1-cosθ);(5分)
同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ(1-sinθ),(7分)
∴S1=R2sinθ(1-cosθ)+R2cosθ(1-sinθ)=R2(sinθ+cosθ-2sinθcosθ).(8分)
(2)∵
=
=
−1,(10分)
令sinθ+cosθ=t∈(1,
],则2sinθcosθ=t2-1.
∴
=
−1=
−1.(12分)
∴
的最小值为
−1.(14分)
则S2=
1 |
2 |
设AB的中点为O,连MO、NO,则MO⊥AC,NO⊥BC.
设MO交AC与点E.

则ME=MO-OE=R-
BC |
2 |
所以:S△AMC=
1 |
2 |
同理可得三角形BNC的面积为R2cosθ(1-sinθ),(7分)
∴S1=R2sinθ(1-cosθ)+R2cosθ(1-sinθ)=R2(sinθ+cosθ-2sinθcosθ).(8分)
(2)∵
S1 |
S2 |
R2(sinθ+cosθ−2sinθcosθ) |
2R2sinθcosθ |
sinθ+cosθ |
2sinθcosθ |
令sinθ+cosθ=t∈(1,
2 |
∴
S1 |
S2 |
t |
t2−1 |
1 | ||
t−
|
∴
S1 |
S2 |
2 |
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