已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=−g(x)+n2g(x)+m是奇函数．（1）确定y=g（x）的解析式；（2）求m，n的值；（3）解不等式f（t2-2t）+f（2t2-1）＜0．

Question

已知指数函数y=g（x）满足：g（2）=4，定义域为R的函数f（x）=(−g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）解不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．(−g(x)+n)/(2g(x)+m)是奇函数．
（1）确定y=g（x）的解析式；
（2）求m，n的值；
（3）解不等式f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0．(−g(x)+n)/(2g(x)+m)−g(x)+n−g(x)+n2g(x)+m2g(x)+m


²²

Answer 1

（1）设y=g（x）=a^xx，
∵g（2）=4，∴a²2=4，解得a=2，
∴g（x）=2^xx．
（2）由（1）知：f（x）=(−2x+n)/(2x+1+m)，
∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
即(m−1)/(2+m)＝0，解得m=1．
∴f（x）=(1−2x)/(2x+1+m)，
又由f（1）=-f（-1）知
(1−2)/(4+m)＝−(1−(1)/(2))/(m+1)，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=(1−2x)/(2+2x+1)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∵2^x为增函数，
∴2^x+1为增函数，(1)/(2x+1)为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． (−2x+n)/(2x+1+m)−2x+n−2x+n−2x+nx+n2x+1+m2x+1+m2x+1+mx+1+m，
∵f（x）是奇函数，
∴f（0）=0，
即(m−1)/(2+m)＝0，解得m=1．
∴f（x）=(1−2x)/(2x+1+m)，
又由f（1）=-f（-1）知
(1−2)/(4+m)＝−(1−(1)/(2))/(m+1)，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=(1−2x)/(2+2x+1)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∵2^x为增函数，
∴2^x+1为增函数，(1)/(2x+1)为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． (m−1)/(2+m)m−1m−1m−12+m2+m2+m＝0，解得m=1．
∴f（x）=(1−2x)/(2x+1+m)，
又由f（1）=-f（-1）知
(1−2)/(4+m)＝−(1−(1)/(2))/(m+1)，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=(1−2x)/(2+2x+1)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∵2^x为增函数，
∴2^x+1为增函数，(1)/(2x+1)为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． (1−2x)/(2x+1+m)1−2x1−2x1−2xx2x+1+m2x+1+m2x+1+mx+1+m，
又由f（1）=-f（-1）知
(1−2)/(4+m)＝−(1−(1)/(2))/(m+1)，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=(1−2x)/(2+2x+1)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∵2^x为增函数，
∴2^x+1为增函数，(1)/(2x+1)为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． (1−2)/(4+m)1−21−21−24+m4+m4+m＝−(1−(1)/(2))/(m+1)1−(1)/(2)1−(1)/(2)1−(1)/(2)111222m+1m+1m+1，
解得m=2．
（3）由（2）知f（x）=(1−2x)/(2+2x+1)＝−(1)/(2)+(1)/(2x+1)，
∵2^x为增函数，
∴2^x+1为增函数，(1)/(2x+1)为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． (1−2x)/(2+2x+1)1−2x1−2x1−2xx2+2x+12+2x+12+2x+1x+1＝−(1)/(2)111222+(1)/(2x+1)1112x+12x+12x+1x+1，
∵2^xx为增函数，
∴2^xx+1为增函数，(1)/(2x+1)为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²-2t）+f（2t²-1）＜0等价于，
f（t²-2t）＜-f（2t²-1）=f（1-2t²）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²-2t＞1-2t²，
∴3t²-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． (1)/(2x+1)1112x+12x+12x+1x+1为减函数，
∴f（x）在（-∞，+∞）为减函数．
又∵（x）是奇函数，
从而不等式：f（t²2-2t）+f（2t²2-1）＜0等价于，
f（t²2-2t）＜-f（2t²2-1）=f（1-2t²2）
∵f（x）为减函数，由上式推得：t²2-2t＞1-2t²2，
∴3t²2-2t-1＞0，
解得t＞1或t＜−(1)/(3)，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． ＜−(1)/(3)111333，
∴不等式的解集为（−∞，−(1)/(3)）∪（1，+∞）． −∞，−(1)/(3)111333）∪（1，+∞）．