已知函数f（x）=x|x-a|的定义域为D，其中a为常数；（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；（2）若a≤-1，D=[-1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；（3）若a>0，在[0，3]上

Question

已知函数f（x）=x|x-a|的定义域为D，其中a为常数；
（1）若D=R，且f（x）是奇函数，求a的值；
（2）若a≤-1，D=[-1，0]，函数f（x）的最小值是g（a），求g（a）的最大值；
（3）若a>0，在[0，3]上存在n个点x_i（i=1，2，…，n，n≥3），满足x₁=0，x_n=3，x₁<x₂<…<x_n，使|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=(13)/(2)，求实数a的取值．

Answer 1

（1）∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（-1）+f（1）=-|-1-a|+|1-a|=0，
∴|a-1|=|a+1|，解得a=0．
∴f（x）=x|x|，经过验证满足题意；
（2）a≤-1，D=[-1，0]，函数f（x）=x（x-a）=(x-(a)/(2))2-(a2)/(4)，
①a≤-2时，对称轴x=(a)/(2)≤-1，函数f（x）在D上单调递增，
∴f（x）的最小值是f（-1）=-（-1-a）=a+1，
则g（a）≤-2+1=-1，
故g（a）的最大值为-1；
②-2<a≤-1时，对称轴x=(a)/(2)∈(-1，-(1)/(2)]，函数f（x）在（(a)/(2)，-(1)/(2)）上单调递增，
在[-1，(a)/(2)]单调递减；
∴f（x）的最小值是f（(a)/(2)）=-(a2)/(4)，
则g（a）≤-(1)/(4)，
故g（a）的最大值为-(1)/(4)；
（3）a>0，函数f（x）=x|x-a|的图象可由f（x）=x|x|的图象右移a个单位得到．
而f（x）=x|x|=

x2，x≥0

-x2，x<0

，x>0时递增，x<0时递增，且f（x）的图象连续，
则函数f（x）=x|x-a|在[0，3]递增，
即有|f（x₁）-f（x₂）|+|f（x₂）-f（x₃）|+…+|f（x_n-1）-f（x_n）|=(13)/(2)，
化为-（f（x₁）-f（x₂）+f（x₂）-f（x₃）+…+f（x_n-1）-f（x_n））=(13)/(2)，
即-（f（0）-f（3））=(13)/(2)，
则3|3-a|-0=(13)/(2)，
解得a=(5)/(6)或(31)/(6)．
则实数a的取值为{(5)/(6)，(31)/(6)}．