某公交汽车从起点开往终点站,中途共有十三个停车站,如果这辆汽车从终点站开出,除终点站外,每一站上车的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有位子

Question

某公交汽车从起点开往终点站,中途共有十三个停车站,如果这辆汽车从终点站开出,除终点站外,每一站上车
的乘客中,正好各有一位乘客从这一站到以后的每一站,那么为了使每位乘客都有位子这辆公交车至少准备多少个座位?

Answer 1

起点开往终点站,因为【途中共有13个停车站】,所以【包括起点、中点,总共有15个站】.
编号分别为0（起点站）,1,2,3,……,13,14（终点站）.
从第0站（起点站）出发时人数A(0)=14（因为根据题意以后每站下去一人,而后面包括终点站在内共有14站）；
经过第1站时,
上来13人（因为根据题意以后每站下去一人,而后面有14站）,
下去1人（因为根据题意以前每站上来的人中必有一人下去,而前面只有1站）,
余下人数A(1)=A(0)+13-1=14+12=26；
经过第2站时,
上来12人（因为根据题意以后每站下去一人,而后面还有12站）,
下去2人（因为根据题意以前每站上来的人中必有一人下去,而前面有2站）,
余下人数A(2)=A(1)+12-2=14+12+10=36；
经过第3站时,
上来11人（因为根据题意以后每站下去一人,而后面还有11站）,
下去3人（因为根据题意以前每站上来的人中必有一人下去,而前面已经有3站了）,
余下人数A(3)=A(2)+11-3=14+12+10+8=44；
……
经过第n站时,
上来14-n人（因为根据题意以后每站下去一人,而后面还有14-n站）,
下去n人（因为根据题意以前每站上来的人中必有一人下去,而前面已经有n站了）,
余下人数A(n)=A(n-1)+(14-n)-n=14+12+10+8+……+（14-2n)；
……
由此可知
n＜7时,车上人数一直是单调增加的；
n≥8时,车上人数就开始单调减少了.
所以A(7)[实际上等于A(6)]就是车上乘客最多值
A(7)=A(6)=14+12+10+8+6+4+2=56.
【推向一般化】这个问题的结论很容易推广到一般,如果某公交车从起点开往终点站,途中共有N-1个停车站.
起点站编为0号,停车站逐个编为1号,2号,3号,4号,……,N-1号,终点站为N号.
则A(0)=N,A(1)=A(0)+N-2,A(2)=A(1)+N-4,……,A(n)=A(n-1)+N-2n,
n＜N/2时,车上人数之前单调增加的；
n＞N/2时,车上人数开始单调减少的.
当N为偶数时,车上人数最多为A（N/2）=2+4+6+……+N=N(N+2)/4=[(N+1)^2-1]/4；
当N为奇数时,车上人数最多为A[(N-1)/2]=1+3+5+……+N=[(N+1)^2]/4.
附件：