已知:sin∠ABC=1/3,⊙O半径为2,⊙O与射线BA相交于E、F两点,EF=2√3,求BO的长?点P在射线BC上,以P为圆心作圆,使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切,求所有满足条件的⊙P的半径.

Question

已知:sin∠ABC=1/3,⊙O半径为2,⊙O与射线BA相交于E、F两点,EF=2√3,求BO的长?
点P在射线BC上,以P为圆心作圆,使得⊙P同时与⊙O和射线BA相切,求所有满足条件的⊙P的半径.

Answer 1

（1）设BC与⊙O的交点为M、N（M靠近B端）
过O作OD⊥EF,垂足为D
又FE=2√3,
故：DE＝DF＝1/2FE＝√3,
又：OE为⊙O半径
即：OE＝2
根据勾股定理：OD＝1
又：sin∠ABC=OD/OB=1/3
故：OB＝3
（2）这样的P点有4个：因为OB＝3,OM＝2 故：BM＝2
设⊙P的半径为R,过P作AB的垂线,垂足为H,则：sin∠ABC＝PH/PB＝R/PB＝1/3
1、P在BM上,则：PB＝BM－R＝2－R,故：R/（2－R）＝1/3 故：R＝1/2
2、P在OM上,则：PB＝BM＋R＝2＋R,故：R/（2＋R）＝1/3 故：R＝1
3、P在ON上,则：PB＝OB＋ON－R＝5－R,故：R/（5－R）＝1/3 故：R＝5/4
4、P在NC上,则：PB＝OB＋ON＋R＝5＋R,故：R/（5＋R）＝1/3 故：R＝5/2