如图，设AB，CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，连接AE，AF结分别与CD交于G，H．（Ⅰ）设EF中点为C1，求证：O，C1，B，P四点共圆；

Question

如图，设AB，CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，连接AE，AF结分别与CD交于G，H．
（Ⅰ）设EF中点为C₁，求证：O，C₁，B，P四点共圆；
（Ⅱ）求证：OG=OH．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，
过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C₁，
∴∠OC₁P=∠PBO=90°，
∴O，P，C₁，B四点共圆．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC₁=∠OBC₁，
过F作FE₁∥CD交AE于E₁，交AB于D₁，
连接D₁C₁，BC₁，BF，
由D₁F∥DC，知∠OPC₁=∠D₁FC₁，
∴∠OBC₁=∠D₁FC₁．
∴B，F，C₁，D₁，四点共圆．…（6分）
∴∠FBA=∠FC₁D₁=∠FEA，由此D₁C₁∥AE，…（8分）
∵C₁是FE的中点，D₁是FE₁的中点，
∴(OG)/(D1E1)＝(AO)/(AD1)＝(OH)/(D1F)，∴OG=OH．…（10分）