设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-2a1，Sn，2an+1成等差数列．（1）当a1=2时，求{an}的通项公式；（2）当a1=2时，设bn=log2（an2）-1，若对于n∈N*，1b1b2+1b2b3+1b3b4+…+1bnbn+1＜k恒成

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-2a₁，S_n，2a_n+1成等差数列．
（1）当a₁=2时，求{a_n}的通项公式；
（2）当a₁=2时，设b_n=log₂ （a_n²）-1，若对于n∈N*，(1)/(b1b2)+(1)/(b2b3)+(1)/(b3b4)+…+(1)/(bnbn+1)＜k恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设c_n=S_n+1，问：是否存在a₁，使数列{c_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵-2a₁，S_n，2a_n+1成等差数列
∴2S_n=-2a₁+2a_n+1，
∴S_n=a_n+1-a₁，…①
当n≥2时，S_n-1=a_n-a₁，…②
两式相减得：a_n=a_n+1-a_n，
即a_n+1=2a_n，------（2分）
当n=1时，S₁=a₂-a₁，即a₂=2a₁，
适合a_n+1=2a_n，-------------（3分）
所以数列{a_n}是以a₁=2为首项，以2为公比的等比数列，
所以a_n=2ⁿ---------------------------------------------------（4分）
（2）由（1）得a_n=2ⁿ，所以b_n=log₂ （a_n²）-1=2n-1
∴(1)/(b1b2)+(1)/(b2b3)+(1)/(b3b4)+…+(1)/(bnbn+1)=(1)/(1×3)+(1)/(3×5)+(1)/(5×7)+…+(1)/((2n−1)(2n+1))=(1)/(2)[（1-(1)/(3)）+（(1)/(3)-(1)/(5)）+（(1)/(5)-(1)/(7)）+…+（(1)/(2n−1)-(1)/(2n+1)）]=(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）
∵n∈N*，
∴(1)/(2)（1-(1)/(2n+1)）＜(1)/(2)
若对于n∈N*，(1)/(b1b2)+(1)/(b2b3)+(1)/(b3b4)+…+(1)/(bnbn+1)＜k恒成立，
∴k≥(1)/(2)-----------------（8分）
（ 3）由（1）得数列{a_n}是以a₁为首项，以2为公比的等比数列
所以c_n=S_n+1=(a1(1−2n))/(1−2)+1=a₁×2ⁿ-a₁+1--------------------------（10分）
要使{c_n}为等比数列，当且仅当-a₁+1=0
即a₁=1
所以存在a₁=1，使{c_n}为等比数列--------------------------------（12分）