在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：（1）如图1，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形

Question

在四边形ABCD中，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N：

（1）如图1，试判断四边形PQMN为怎样的四边形，并证明你的结论；
（2）若在AB上取一点E，连结DE，CE，恰好△ADE和△BCE都是等边三角形（如图2）：
①判断此时四边形PQMN的形状为______  （直接写出你的结论）
②当AE=6，EB=3，求此时四边形PQMN的周长（结果保留根号）

Answer 1

（1）连结AC、BD．
∵PQ为△ABC的中位线，
∴PQ

∥

.

(1)/(2)AC
同理MN

∥

.

(1)/(2)AC．
∴MN

∥

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)．

∥

.

∥∥∥

.

.

.

.(1)/(2)AC
同理MN

∥

.

(1)/(2)AC．
∴MN

∥

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)． (1)/(2)111222AC
同理MN

∥

.

(1)/(2)AC．
∴MN

∥

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)．

∥

.

∥∥∥

.

.

.

.(1)/(2)AC．
∴MN

∥

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)． (1)/(2)111222AC．
∴MN

∥

.

PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)．

∥

.

∥∥∥

.

.

.

.PQ，
∴四边形PQMN为平行四边形；

（2）①四边形PQMN是菱形；
②过点D作DF⊥AB于F，则DF=3√(3)
又∵DF²+FB²=DB²
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)． √(3)

3

33
又∵DF²2+FB²2=DB²2
∴DB=√((3√(3))2+62)=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)． √((3√(3))2+62)

(3√(3))2+62

(3√(3))2+62(3√(3)

3

33)2+622+622=3√(7)
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)． √(7)

7

77
∴由①知四边形PQMN是菱形，可计算得周长是6√(7)． √(7)

7

77．